PREGUNTAS FRECUENTES

1.¿En que consiste una derivada?
R/ La derivada consiste en la RAZÓN DE CAMBIO de una función real o compleja de una variable

2.¿En que consiste la integral?
R/ la integral es el proceso de cálculo de áreas encerradas entre una curva y un eje cartesiano

3.¿En que consiste el área?

El tamaño de una superficie.La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional).

4.¿Que relación hay entre la derivada y la integral?















R/ Consiste en la PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN O ANTIDERIVADA, osea cuando conocemos una función F, pretendemos encontrar otra función F que cumpla la condición F'= F

5.¿En que consiste la suma de Riemann?

R/ Consiste en un método de integración numérica que sirve para calcular el valor integral definida es decir el área bajo la curva.

Básicamente se refiere a trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos.


6.¿Que perrequisitos se deben tener en cuenta par proceder a las Sumas de Riemann?

7.¿Una vez terminado de ver sumas de rieman "calculo integral" a que pasariamos?

















8. Que entiende por el teorema fundamental del calculo?

R/ Cualquiera de las diferentes técnicas elementales usada para calcular una antiderivada o una integral indefinida de una función.
Así que una función f(x) por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función f(x) tal que f(x) es su derivada.

FUNCIÓN CONTINUA SUMA DE RIEMANN

PASOS

1. Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n subdivisiones iguales para f sobre el intervalo [a, b] se define como sigue.

Primero, se hace una partición del intervalo [a, b] en n partes iguales:

Δx = (b-a)/n,
x₀ = a,
x₁ = a + Δx,
x₂ = a + 2Δx,
...
x_n = a + nΔx = b

2. Luego, se suma los n productos f(x0)Δx, f(x1)Δx, f(x2)Δx, ..., f(xn -1)Δx, para obtener la suma de Riemann.

Entonces,

3. Suma (izquierda) de Riemann	=	n-1 n = 0 f(xk)Δx
	=	f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... + f(xn -1)Δx
	=	[f(x0) + f(x1) + ... + f(xn -1)]Δx

La suma izquierda de Riemann da el área visto más abajo.

EJERCICIOS SUMA DE RIEMANN

NOTACIÓN SIGMA

1: Si X₁ = 3 X₂ = 9 X₃ =11

Encontrar:

Solución

2. Si X₁ = 9 X₂ = 6 X₃ = 5 X₄ = 8 X₅ = 12

Encontrar:

Solución

SUMA DE RIEMANN

Halle la suma de Riemann para la función y trace la grafica en el intervalo dado a continuaciòn:

Soluciòn















2. Evaluando la suma de Riemann en cuatro subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:


limite [0,2]

La suma de Riemann representa la suma de las areas sobre el eje , menos la suma de las areas debajo del eje ; esa es el área neta de los rectángulo respecto al eje .

3. Evaluando la suma de Riemann en seis subintervalos tomando los puntos de la derecha de la siguiente función:

limite [0,3]

EJERCICIO FUNCIÓN CONTINUA SUMA DE RIEMANN

1.Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral _-1¹(x²+1) dx usando n = 5 subdivisiones.

Primero, para calcular las subdivisiones:

Δx = (b-a)/n = (1-(-1)/4 = 0.4.

x₀ = a = -1
x₁ = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6
x₂ = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2
x₃ = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2
x₄ = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6
x₅ = b = 1

La suma de Riemann que buscamos es

f(x₀)Δx + f(x₁)Δx + ... + f(x₄)Δx
= [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4

Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue:

x	-1	-0.6	-0.2	0.2	0.6	Total
f(x) = x2+1	2	1.36	1.04	1.04	1.36	6.8

la suma de Riemann es, entonces,

6.8Δx = 6.8x0.4 = 2.72.

Para obtener una buena aproximación de la integral, debemos utilizar un nùmero de subdivisiones mucho más grande que 5.

Para practicar de clic en el link:
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html

TEOREMA FUNDAMENTAL SUMA DE RIEMANN

• Si una función f es continua en un intervalo [a, b] entonces f es integrable en ese intervalo.

F' (c) = f(c)

• Si f tiene un número finito de discontinuidades en [a, b] pero se mantiene acotada para todo x del intervalo (presenta sólo discontinuidades evitables o de salto finito) entonces es integrable en el intervalo.

INTEGRAL INDEFINIDA O PRIMITIVA

La derivación puede ser vista como un operador que toma una función f(x) y retorna su función derivada f0(x). ¿Existirá el proceso inverso? Es decir, ¿existirá algún operador que tome la función f0(x) y retorne f(x) ? Este proceso inverso existe y se denomina integración indefinida, cálculo de primitivas o de anti-derivadas.

RESTRICCIÓN SUMA DE RIEMANN

En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. 

INTERPRETACIÓN SUMA DE RIEMANN

La suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación.

Esto se debe a una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos [a, b] que incluye a los extremos. Arbitraria de dicho intervalo a = x₀ £ x₁ £ x₂ £ x₃ £ ......... £ x_n-1 £ x_n = b donde D x_i indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si t_i es cualquier punto del i-ésimo subintervalo la s

uma x_i-1 £ t_i £ x_i se llama suma de Riemann de f asociada a la partición.

DEFINICIÓN SUMA DE RIEMAN

GEORGE FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866). Gran matemático alemán. Realizó numerosas contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más conocidas en Geometría no Euclídea, ecuaciones diferenciales y teoría de números. Sus hallazgos fueron fundamentales para el desarrollo posterior de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein.

La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor a este matemático . Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo.

Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

DEFINICIÓN INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x).

TERMINOLOGÍA

El símbolo de integral, es una S alargada y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación , f(x) se llama integrado, y a y b se conocen como limites de integración; a es el límite inferior y b es el límite superior.

El símbolo dx no tiene significado en sí; la expresión , vista como un todo, es un símbolo único.

NOTACIÓN

NOTACIÓN SUMA DE RIEMANN

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/simbolo1.gif

NOTACIÓN SIGMA

La notación Sigma: Son los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Propiedades de la Notación Sigma

Si la notación sigma se usa para representar la suma de números Reales, las propiedades de la suma en el campo de los números Reales son:

1) Asociativa y 2) Conmutativa.

Nota: Si una suma contiene demasiados términos, no resulta práctico escribirlos a todos individualmente, así que se usan tres puntos suspensivos para indicar los términos que faltan. De esta forma, la suma de los primeros naturales del 1 al 50 es:

Notación sigma mayúscula

La notación matemática que se emplea para indicar de manera compacta de muchos términos que son similares es por medio del símbolo de sumatoria ∑, que es la letra griega mayúscula llamada Sigma. Un ejemplo de como se usa la notación sigma mayúscula es el siguiente:

El subíndice indica la variable llamada variable indexada, en este caso la i representa el índice d ela suma; j es el valor inferior de la suma, y n es el valor superior de la suma. En el ejemplo, i = j bajo la suma significa que el índice i parte o se inicia con un valor igual a j. Los valores sucesivos de i se calculan sumando 1 alvalor anterior i, y este proceso sigue hasta que i = n. La letra que indica el índice puede ser k en lugar de i, como se ve en el siguiente ejemplo:

.

También:

es equivalente a

.